ندای امروز

یادداشت‌های دایی

هفته‌ی آینده امتحان فیزیک دارم. از هفته‌ی قبل تا به حال نیمی از مطلب را دوره نموده‌ام. مطمئنا تا هفته‌ی آینده نیمه‌ی دوم را به موقع دوره خواهم نمود.

کیسه‌ی برنجی برای مصرف یک ماه خریده‌ام. در نیمه‌ی ماه نصف کیسه مصرف شده است و با خیال راحت می‌دانم که تا انتهای ماه برنج به اندازه‌ی کافی موجود است.

باک ماشین را پر از بنزین می‌کنیم و از تهران به سمت اصفهان حرکت می‌کنیم. در نیمه‌ی راه درجه‌ی بنزین به نصف رسیده است و اطمینان داریم با نیمه‌ی باقی‌مانده‌ی بنزین مابقی مسافت را بدون دردسر طی خواهیم نمود.

این‌ها چند مثال از بسیاری از نمونه‌هایی است که ما به صورت روزمره با آن برخورد می‌کنیم. در همه‌ی این مثال‌ها رابطه‌ای خطی بین دو متغیر، مثلا بین مصرف بنزین و مسافت طی شده وجود دارد. ذهن ما به وجود رابطه‌ی خطی بین متغیرها عادت نموده است و در اولین برخورد با هر پدیده‌ای رابطه‌ای خطی بین متغیرها در نظر می‌گیریم.

در این مقاله مواردی که رابطه‌ی خطی بین متغیرها صادق نمی‌باشد و نگاه خطی منجر به استنتاج‌های بسیار نادرست می‌گردد، بررسی می‌شود. اهمیت این موضوع در برآورد مصرف انرژی و پیامدهای اجتماعی بحران انرژی پیش‌رو می‌باشد.

وقتی کمیتی مثل مصرف یک منبع (بر حسب مقدار تن در سال) یا سود بانکی با یک درصد ثابت سالیانه رشد می‌نماید، رشد یک پدیده‌ی نمایی (Exponential) می‌باشد و دیگر رابطه‌ی خطی که ما بدان خو گرفته‌ایم صادق نیست. خاصیت مهم رشد نمایی این است که زمان مورد نیاز برای افزایش مقدار رشد کننده (یا کاهش مقدار آن) به اندازه‌ای معین، ثابت است. برای مثال بهره‌ی بانکی ٪۵ (یک نرخ ثابت) در سال (یک مدت زمان ثابت) رشدی نمایی است.

رابطه‌ی  مصرف یک منبع r  که با درصد ثابتی در سال رشد می‌نماید عبارتست از:

که r₀ مقدارمصرف منبع در زمان مرجع t=0 می‌باشد، و k نرخ رشد سالیانه است و t زمان بر حسب سال می‌باشد. مهمترین نتیجه از رابطه‌ی بالا زمان دو برابر شدن مصرف  نسبت به اندازه‌ی اولیه‌ی مصرف منبع می‌باشد که آنرا به T₂ نمایش می‌دهیم و از رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود:

که در رابطه‌ی بالا P درصد سالیانه رشد است و P=100k.

برای مثال زمان دو برابر شدن مصرف نفت با متوسط رشدی معادل ٪۵ در سال برابر است با:

سال. در دو T₂ برابر با ۲۸ سال، مقدار مصرف ۴ برابر خواهد شد و در سه T₂ مقدار مصرف ۸ برابر خواهد شد (۸=۲^۳).

مثال دیگری می‌آوریم. حتما داستان مخترع شطرنج را که برای پادشاهی کار می‌کرد شنیده‌اید. به عنوان دستمزد اختراع شطرنج، مخترع درخواست نمود که در خانه‌ی اول شطرنج ۱ عدد دانه‌ی گندم و در خانه‌ی دوم ۲ عدد دانه‌ی گندم و در خانه‌ی سوم ۴ عدد دانه‌ی گندم و در هر یک از خانه‌های بعدی دو برابر خانه‌ی قبل به او گندم بدهند. جدول زیر نشانگر تعداد دانه‌های گندم در صفحه‌ی شطرنج می‌باشد:

تولید جهانی گندم دنیا در سال ۲۰۰۹ برابر ۶۶۰ میلیون تن بوده است. با فرض وزن هر دانه گندم برابر ۰٫۰۶۴۸ گرم، مقدار گندم درخواستی مخترع شطرنج برابر با ۱۱۹۵۳۴۹ میلیون تن یا به عبارتی ۱۸۱۱ برابر تولید جهانی گندم در سال ۲۰۰۹ می‌باشد. این مقدار گندم احتمالا بیشتر از تمام گندم تولید شده توسط انسان در کل تاریخ کره‌ی زمین می‌باشد! توجه نمایید که ما با یک دانه‌ی گندم در خانه‌ی اول شروع نمودیم و فقط آن را ۶۳ مرتبه ۲ برابر نموده‌ایم.

رشد نمایی با دو برابر شدن متمایز می‌گردد، و فقط چند دو برابر نمودن به سرعت به عدد بسیار بزرگی تبدیل می‌گردد. مثال صفحه‌ی شطرنج در جدول (۱) خصوصیت مهم دیگری از رشد نمایی را نیز نشان می‌دهد. افزایش در هر دو برابر نمودن تقریبا برابر است با مجموع همه‌ی رشدهای قبلی. برای مثال در خانه‌ی ششم ما ۳۲ عدد گندم گذاشته‌ایم که از مجموع ۳۱=۱۶+۸+۴+۲+۱ بزرگتر است. یعنی دانه‌های قرار گرفته در آخرین خانه از مجموع همه‌ی دانه‌های خانه‌های قبلی به اندازه‌ی یک عدد بیشتر است. این مطلبی است که پرزیدنت جیمی کارتر در مورد مصرف نفت آمریکا در دهه‌های ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰ بیان نموده است. در این دهه‌ها، نرخ رشد مصرف نفت آمریکا ٪۷ بوده است و زمان دو برابر شدن مصرف:

سال می‌باشد که برابر یک دهه است. یعنی در هر یک از این دهه‌ها مصرف نفت آمریکا دو برابر شده و در هر دهه، نفت مصرف شده بیشتر از مجموع نفت مصرف شده در کل تاریخ آمریکا تا آغاز آن دهه بوده است.

رشد نمایی در محیط محدود

Albert Bartlett، پرفسور در فیزیک و فیزیک نجومی در دانشگاه کلرادو بحث معروفی در رابطه با ریاضی نمایی دارد [۱,۲]. یک مثال کلاسیک در مورد رشد نمایی مربوط به رشد سلول در یک ظرف آزمایشگاهی می‌باشد. فرض نمایید که یک سلولی داریم که در هر دقیقه جمعیت آن دو برابر می‌شود (۱=T₂ دقیقه) و چون رشد جمعیت توسط دفعات متعدد دو برابر شدن انجام می‌گیرد، ما با رشدی نمایی مواجه می‌باشیم. این سلول کوچک را در ساعت ۲۳:۰۰ در یک لیوان پر از غذا قرار می‌دهیم و حجم غذا برای سلول در ابتدا نامحدود است (شکل ۱).

در انتهای اولین دقیقه (۲۳:۰۱)، دو عدد سلول در لیوان خواهیم داشت و در (۲۳:۰۲) چهار عدد سلول در لیوان خواهد بود.

حال فرض نمایید در ساعت ۲۴:۰۰ ما برمی‌گردیم و می‌بینیم دو اتفاق مهم افتاده است. اولا لیوان غذا پر از سلول گشته، و ثانیا همه‌ی سلول‌ها از بی‌غذایی مرده‌اند. بنابراین طی این یک ساعت، سلول‌ها لیوان را کاملا پر نموده‌اند و کل غذای موجود را مصرف کرده‌اند (شکل ۲).

حال سوال این است که چه زمانی لیوان نصفه بوده است؟

اگر ما براساس ریاضی متداول که بر پایه‌ی خطی فکر کردن است قیاس کنیم، اولین پاسخ ما این خواهد بود که لیوان در ساعت ۲۳:۳۰ دقیقه نیمه  پر گشته است.

این پاسخ به نظر منطقی می‌آید اگر رشد سلو‌ل‌ها از رابطه‌ای خطی پیروی می‌نمودند. با به کار بردن ریاضی متداول، اگر لیوان در ساعت ۲۴:۰۰ کاملا پر شده باشد، بنابراین به طور منطقی در نیمه‌ی راه، در ساعت ۲۳:۳۰ دقیقه می‌بایست نصفه پر باشد.

اما با سری اعدادی که به صورت نمایی رشد می‌کنند (که رشد سلول‌های ما اینچنین است) ساعت ۲۳:۳۰ دقیقه صحیح نمی‌باشد.

نتیجه: «الگویی که به ریاضیات دوران مدرسه‌ی ابتدایی کاربرد دارد، برای پدیده‌های با رشد نمایی جواب نمی‌دهند.»

لیوان نیمه پر و نیمه خالی

چون سلول‌های این آزمایش به صورت نمایی رشد می‌نمایند، لیوان در ساعت ۲۳:۵۹ دقیقه نیمه پر خواهد بود. اگر لیوان در ساعت ۲۳:۵۹ دقیقه نیمه پر باشد و همه‌ی سلول‌ها در یک دقیقه‌ی باقی‌مانده دو برابر شوند، در آن موقع کل جمعیت سلول‌ها دو برابر شده و لیوان در ساعت ۲۴:۰۰ کاملا پر خواهد بود. این یک جنبه‌ی مشوش کننده‌ی رشد نمایی را آشکار می‌سازد که با اینکه نیمی از لیوان هنوز خالی است فقط یک دقیقه به وقوع فاجعه باقی‌مانده است! اگرچه شرایط در وضعیتی که لیوان نیمه پر می‌باشد به طور نسبی بی‌خطر به نظر می‌آید، اما چون تعداد سلول‌ها به صورت نمایی رشد می‌یابند (برخلاف خطی) فاصله‌ی زمانی تا بروز فاجعه در کل لیوان فقط یک دقیقه دورتر است. توجه نمایید که ما در سال ۲۰۰۷ به قله‌ی نفت رسیده‌ایم و نصف ذخایر موجود جهان را مصرف کرده‌ایم.

اگر سلول‌های داخل لیوان به حوادث در شرف وقوع در داخل لیوان به صورت خطی نگاه نمایند در حالی که در واقع قوانین نمایی حاکم می‌باشند، خطا باعث کور شدن آنها به شدت و نزدیکی وقوع فاجعه‌ای که آنها را در بر خواهد گرفت می‌شود.

چه موقع لیوان ۴/۱ پر است؟

برای ساکنینی که در لیوان زندگی می‌کنند،  وقتی  لیوان  ۴/۱ پر است و ٪۷۵ کل حجم آن هنوز خالی است، هیچ نگرانی اگر محاسبات براساس ریاضیات کوچه و بازار باشد (ریاضیات خطی) وجود ندارد و برطبق این محاسبات ساعت ۲۳:۱۵ دقیقه می‌باشد. خطای برهان در یک چنین دلیل آوردنی البته بر این اساس است که چون لیوان ۴/۱ پر است، بنابراین ۴/۱ ساعت (۱۵ دقیقه) می‌بایست گذشته باشد. با یک چنین حجم خالی باقی‌مانده، وضعیت بسیار بی‌خطر به نظر می‌آید. اما چون تعداد سلول‌ها به صورت نمایی رشد می‌کنند، آنچه به نظر ‌خطری کوچک می‌نماید، بسیار گمراه‌ کننده است.

فقط با دو زمان دو برابر شدن (۲T₂) باقیمانده تا وقوع فاجعه، سلو‌ل‌ها یک محیط نسبتا خالی را اشغال نموده‌اند. در واقع در ساعت ۲۳:۵۸ دقیقه لیوان فقط ۴/۱ پر از سلول شده است. وقتی جمعیت موجود در ساعت ۲۳:۵۸ دقیقه دو برابر گردند، لیوان در ساعت ۲۳:۵۹ دقیقه نیمه پر خواهد بود و وقتی که در آخرین دقیقه هر سلول مجددا تقسیم به دو گردد، کل لیوان پر شده (ساعت ۲۴:۰۰) و فاجعه به وقوع پیوسته و همه‌ی سلول‌های موجود در لیوان از بین خواهند رفت.

بنابراین با وجود خالی بودن حجم بزرگی از لیوان، آسان است که فهمید چطور سلول‌ها به دلیل تفسیر دنیای خود با استفاده از روابط خطی از شرایط خود راضی بوده‌اند و اغوا شده‌اند.

در ساعت ۲۳:۵۵ دقیقه، فقط ۵ دقیقه مانده به فاجعه، فقط ۳۲/۱ لیوان پر است و ٪۹۷ آن خالیست. بسیار سخت است که پذیرفت خطر وجود دارد وقتی که یک چنین حجم خالی به وفور موجود است.

بنابراین اگر ریاضی اصلی که ما مورد استفاده قرار می‌دهیم، ریاضی خطی باشد، در این صورت غیرممکن است که فاجعه‌ی در حال وقوع را پیش‌بینی نماییم.

سوال این است که سلول‌های لیوان چه زمانی خواهند فهمید که آنها با یک مشکل روبرو هستند؟ پاسخ این است که اگر آنها دنیای خودشان را با استفاده از تفکری بر پایه‌ی ریاضی خطی تعبیر نمایند، درک آنها از وقوع فاجعه بسیار دیر اتفاق خواهد افتاد.

سعی در تحلیل رشدهای نمایی با استفاده از تعبیر ریاضی خطی موجب یک خطای بسیار فاحش می‌گردد.

«بنابراین با کمتر از یک دقیقه مانده به وقوع فاجعه، جمعیتی که دنیای خود را براساس ریاضی کوچه و بازار (خطی) تعبیر می‌نمایند به قریب‌الوقوع بودن خطر کور خواهند بود.»

جمع‌بندی

وقتی که ما با رشد نمایی روبرو هستیم، برای آنکه یک تخمین قابل اعتماد برای پیش‌بینی عمر منبع به دست آوریم ما نیازی به تخمین بسیار دقیق اندازه‌ی منبع نداریم.

برای درک بهتری از رشد نمایی فرض کنید کل کره‌ی زمین از نفت تشکیل شده باشد که معادل ۱۰^۲۱×۶٫۸۱ بشکه خواهد بود و با مصرف ۸۵ میلیون بشکه در روز که مصرف روزانه‌ی نفت دنیا در قله‌ی تولید نفت در سال ۲۰۰۷ بوده است، ۲۱۹ میلیارد سال (۱۰^۱۱×۲٫۱۹) مصرف آن به درازا خواهد کشید به فرض آنکه هیچ رشدی در مصرف نداشته باشیم.

با استفاده از رابطه‌ی زمان اتمام یک منبع محدود:

که R حجم منبع، k نرخ رشد مصرف و r₀ مصرف در زمان مرجع t₀ می‌باشد و با فرض رشد مصرف نفت ٪۷ در سال، مدت اتمام منبع از ۲۱۹ میلیارد سال به ۴۲۰ سال کاهش می‌یابد!

لازم به ذکر است که تخمین عمر نفت و گاز ایران اشاره شده در مقاله‌ی «نقش نفت در اقتصاد ایران» براساس تولید نفت و گاز ایران در سال ۲۰۰۷ با فرض رشد مصرف صفر درصدی می‌باشد که البته این وضعیت اتفاق نیفتاده و در آن مقاله مدت عمر منابع نفت و گاز آگاهانه با ذکر «با نرخ تولید کنونی» محاسبه گردیده است. متوسط رشد مصرف گاز ایران طی سه سال اخیر بیش از ٪۹ درسال می‌باشد.

رشد نمایی به مانند یک شبح در مقابل مصرف نامحدود انرژی خودنمایی می‌نماید. همانند رشد سلول‌ها در لیوان، ما در یک محیط محدود رشد و زاد و ولد می‌نماییم. برخلاف سلول‌ها، ما می‌توانیم مصرف انرژی خود را بر طبق خواسته و درایتمان تغییر دهیم. اینکه منابع انرژی ما برای یک دهه‌ی دیگر یا یک قرن دیگر دوام خواهد آورد به مقدار زیادی بستگی به تمایل‌مان به اعمال محدودیت بر مصرف انرژی‌مان دارد. تمایل به اعمال محدودیت به مقدار زیادی یک مسئله‌ی ارزشی است تا علمی. علم توصیف‌کننده‌ی محدودیت‌های اعمال شده توسط محیط اطراف ما می‌باشد، ارزش‌های ما توصیف‌کننده‌ی محدودیت‌هایی است که ما بر خودمان اعمال می‌کنیم.

آگاهانه یا ناآگاهانه، اعمال ما بازتاب ارزش‌های ماست. آیا ما زمان حال را بیشتر از آینده ارزش می‌داریم و آسایش خودمان را بیشتر از بچه‌ها و نوه‌هایمان می‌خواهیم؟ آیا راحتی استفاده از اتومبیل با ارزش‌تر از هوای تمیز که در اطراف ماست می‌باشد؟ آیا زمان صرفه‌جویی شده توسط استفاده از اتومبیل شخصی، ارزش چاقی که به طور فزاینده در جوامع غیر متحرک و نشسته مشاهده می‌گردد را دارد؟ آیا اقتصاد بر پایه‌ی دور ریختن ارزش هزینه‌ی وارده بر محیط زیستمان و منابعش را دارد؟ آیا منفعت حاصل از مصرف بیشتر از انرژی حرارتی تلف شده توسط ماشین‌های ناکارا توجیه‌پذیر است؟

انرژی مانند یک شمع در یک شب تاریک است. راهی که ما به صورت فردی و جمعی برای سوختن این شمع انتخاب می‌نماییم، تعیین خواهد کرد که برای چه مدتی و بین چه تعدادی این نور می‌تواند تقسیم شود و دوام آورد.

مراجع:

[۱] Bartlett 2000, An analysis of U.S. and world oil production pattern using Hubbert-style curves, Mathematical Geology, Vol. 32, No.1, pp1-17

[2] Bartlett 1993, Arithmatic of growth: Methods of calculation, J. Population and Environment, Vol. 14, No.4, pp359-387

این نوشته در تاریخ یکشنبه، ۹ اسفند ۱۳۸۸ و در زمان ۱۲:۰۳ ب.ظ با موضوع یادداشت‌های دایی ارسال شده است. شما می توانید با استفاده از فید RSS 2.0 نظرات این نوشته نظرات دیگران را دنبال کنید. همچنین شما می توانید نظری بنویسید، و یا بازتابی از سایت خود ارسال نمائید.